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费马的小故事五 《与天为敌:风险故事》|黑天鹅、博弈论、不确定,关于风险最有深度的文章

2017年10月07日 来源:费马的小故事五 大字体小字体

  5、概率的分布和均值回归

  希腊精神的独特品质是他们对证明的重视。他们更关心“为什么”而不是“是什么”。他们拒绝接受没有根据的表面价值,对个例不感兴趣,他们的目标是能找到一种观念,这种观念能应用到任何地方、任何事物之中。例如,仅仅通过度量就能证实直角三角形斜边的平方等于另两边平方之和,不论大小,所有的直角三角形都遵循这个原则,无一例外。证明是欧几里德的几何学的全部。证明而不是计算会对数学理论永远起支配作用。希腊人没有发现概率法则,没有发现微积分,甚至没能发现简单的代数学,这和他们不得不依赖于以字母为基础的笨拙的希腊字母数字体系有关,基于这个数字体系是无法进行计算的。

  哈姆雷特抱怨说,面对不确定的结果时太多的犹豫不决是不利的,因为决策的本质特色会被不断的思考削弱。哈姆雷特错了,犹豫不决的人是在采取妥协方案。只要我们一采取行动,我们就丧失了等待新信息出现的机会。这样,不采取行动本身也具有价值。结果的不确定性越大,延迟行动的价值也就越大。

  认识的不完美和人的理性假设密切相关。在动荡变革的时代,社会和群体行为难以预测时,思潮倾向于人的不理性,所谓的“动物精神”,进而缩小个人选择的范围而扩大公共选择的边界。与之对应的,镀金年代更倾向于“看不见的手”的选择机制,敢于对不确定性进行统计概率上的量化,将风险理解为概率上的确定性。因此也形成了一对从未解决的矛盾:一方是基于对不确定的未来更大程度上的主观信仰,或者说可信度,信心度,是本质问题;而另一方坚持认为最好的决策是以由过去模式决定的限制和数据为基础的,或者说是度量问题。

  同样是这个问题,拉普拉斯在1809年的一本书中提出,平均值的均值可以减少与总平均值间的离差,而这也就是现在所称的中心极限定理。这本书完成并出版一年后,拉普拉斯读到了高斯的理论,两个人的理论不谋而合。

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  弗朗西斯•高尔顿的言论十分明智,他鼓励我们去“欣赏广泛的观点”而不仅仅是平均值的观点。高尔顿是一个对数据的狂热爱好者。他通过对豌豆代际之间大小统计和比较的实验,提出了一个普遍原理,这就是我们现在所知的“向均值回归”原理。他写道:“回归是理想后代的平均类型偏离其父辈的倾向,并且大概要回归到被称为父辈的平均类型中去。”如果这种收缩的进程不存在的话,那么大的豌豆就会繁殖出更大的豌豆,小的豌豆就会繁殖出更小的豌豆,如此这样,这个世界就会只有侏儒和巨人。大自然会使每一代变得愈发畸形,最终达到我们无法想象的极端。金融市场上的专业投资经理的记录也遵循回归平均的原理。

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  度量和实质之间的平衡是整个风险故事的焦点。第一步是设计度量技术,它能用来决定在不确定的未来中多大程度地隐藏着有序的成分。到17世纪末,概率分析中的主要问题都被解决了。接下来的一步是解决人们如何认识概率,如何应对概率,这最终是有关风险管理及决策制定的重大问题。

  系统化、理论化概率的衡量和以前根据可信度来做决定是截然不同的。起源于帕奇奥利关于分配筹码的老问题-在球类游戏中,两个势均力敌的参加者如何在游戏未结束时分配筹码?如果这个游戏继续进行下去,那么,先前游戏停止时领先的一方会有更大的概率来获得最终的胜利。但是那个领先者获胜的几率能多出多少呢?回答这个问题的思路是决策制定理论的开端,当我们不能确定将要发生什么事情时而决定做些什么,做出决策是风险管理的必要的第一步。无数赌徒的经历表明风险管理的历史是一个同时充满悲伤和欢乐的历史。

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《与天为敌:风险故事》 黑天鹅博弈论不确

   1983年证明了莫德尔猜想(使用了与本世界发展起来的有效的代数几何的方法结合在一起的最高明技巧)——因为n大于3的费马方程的亏格是2或更大,所以很显然,如果费马方程存在整数解那么它们是无限个。

  英国政府从荷兰人利用年金作为融资工具中得到启示,他们开始试图通过销售年金来募集百万英镑,14年后再把最初的本金还给购买者。保险业在葛兰特和哈雷发表其研究成果的时候迅速发展并不是一个巧合,而是一个时代的信号,在这个时代中,商业和金融业的创新正在繁荣发展。在英文中,股票经纪人(stockbroker),或者股票从业者(stockjobber)这个词第一次出现是在1688年左右。100年后,人们才开始在纽约华尔街的梧桐树旁交易股票。1693年12月,英国国会通过发行百万英镑的年金,开始了英国国债的历史。

  虽然所得到的数据仅仅是伦敦全部出生和死亡数目的一小部分,但是这并没能阻止葛兰特从所有的数据中得出一般性的结论。葛兰特将原始的数据进行系统的论述,他分析数据的方式奠定了统计科学的基础。他的分析方法现在被称为“统计推论”。指的是从一部分样本数据中推断出对整体的估计。“统计学”这个词就来源于对国家大量事实的分析。后来的统计学家们解决了如何计算估计值和真实值之间可能的误差问题。通过这种开创式的工作,葛兰特将收集信息的简单过程转变为一种用于释义不确定性的复杂而强有力的工具。

  导读管理风险的能力及风险承担与前瞻性选择的偏好,是驱动经济系统前进力量的关键因素。社会和群体行为难以预测时,思潮倾向于人的不理性;和平年代更倾向于“看不见的手”的选择机制,敢于对于不确定性进行统计概率上的量化,将风险理解为概率上的确定性。因此也形成了一对从未解决的矛盾:一方是基于对不确定的未来更大程度上的主观信仰;而另一方坚持认为最好的决策是以由过去模式决定的限制和数据为基础的度量问题。

  贝叶斯是在这个领域有着重要贡献的另一位数学家。他的一篇名为《解决机会学说中一个问题的文章》的论文非常杰出新颖,引人瞩目。这篇文章探讨了这样一个问题:已知未知事件发生和失败的次数,求某一次发生的概率值在两个可知的概率值之间的概率。

  雅各布•伯努利、亚伯拉罕•棣莫弗和托马斯•贝叶斯为我们展示了如何从现实的事实经验中推断出预先未知的概率。这些杰出的成就令人赞叹,因为它们需要敏捷的思维和对未知事物的大胆探索精神。“如果我们被形而上学的迷雾蒙蔽了双眼,那么我们就会以浅短、表面的方式承认伟大造物者和万物统领者的存在。”

  03 风险来自不确定性

  在一个社会将风险概念纳入自己的文化之前,人们对于未来的态度必须发生改变。一直到文艺复兴时期,人们仍然认为未来仅仅是机遇造成的,或者是随机事件的结果,他们的大部分决定全凭直觉而定。当生活状况与自然界有非常紧密的关系时,人类并没有多少控制的余地。只要生存的需要仍将人类限制于最基本的活动之中,人类就无法控制环境。当然,在这个环境中人类是有能力影响自己所决定的结果的,因为未来的不可预测性,省下来的一便士和挣来的一便士有本质上的不同。

  衡量概率的想法是在后来才出现的,所以第二种含义出现的时间比第一种晚得多。这种含义是随着时间的推移从实证的思想中发展而来的。直到数学家们对过去的事件出现的频率有了理论的解解之后,有关概率更新颖的观点才浮出水面。为了能够在赌桌上取胜,卡达诺探寻了许多方法,但在书中,他表达了理论家们一贯的悲叹:“...这些事实能用于理论的理解,不能用于实际的赌博。”

  雅各布•伯努利所提出的计算“事后”概率的法则现在被熟知为大数定律。这个定律所要告诉我们的是:无限次地抛掷并不意味着误差就被完全消除了,这也不意味着误差一定要小到可以忽略的地步;和少量的抛掷所得的观察均值相比,大量的抛掷次数所得的观察均值与实际均值间的误差更可能在小范围内变动,并且总有一种概率是存在的,即观察所得的结果与实际结果间的差异要比特定的范围大。

  棣莫弗的曲线图形使他计算出有关均值周围观察值离差的统计度量。这个度量现在被称为标准偏差,在判断一组观察实例中是否包含对整体(这组观察实例是整体的一部分)有足够代表性的样本时,标准偏差是非常重要的,在正常分布中,大约68%的观察值会在所有观察值均值的一个标准差的范围内变动,而95%的观察值会在均值的两个单位标准差范围内变动。棣莫弗在解决这些问题方面上的进步被列为数学领域最重要的成就之一。

  雅各布没有轻易使用“接近必然的可能性”这个词,而是从概率的定义中衍生出来的,而概率的定义则来自于莱布尼茨早期的工作。“概率,”莱布尼茨认为,“是确定的程度,是绝对确定的差异度,这就如同部分和整体的差异一样。”

  另一方面,我们不得不基于有限的数据来制定决策,如果没有抽样调查,绝大多数重要决策是难以制定的。抽样调查对于风险承担来说是很重要的,我们总是用过去和现在的样例来猜测未来的事件。1660年,英国人葛兰特发表了他经过精心研究而概括出的人口统计数据,这个数据是他研究伦敦当地教堂保存的死亡记录的统计样本后得出来的。

  虽然埃及人精通天文学,能够预测尼罗河水涨落的时间,但是他们可能从来没有想过要管理或影响未来。变革并不是他们思维体系的一部分,他们尊重过去,他们的思维已经被习惯、周期性的事物所统治。

  效用是十分强大的一个概念,在随后200年,它构成了主要范例的基础,用来解释人类的决策制定和选择理论,其涉及的领域远远超过了金融领域。效用成为博弈论整个体系串不可分割的一部分,而博弈论又是20世纪在战争、政治和工商管理中有关决策制定的一项理论创新。效用理论在18世纪末期时,被英国著名的哲学家杰里米•边沁发现,从整体的角度来谈论生活。但是19世纪的经济学家们却将效用仅仅作为一种工具,用它来发现如何从买卖双方相互影响的决策中得出价格,他们认为当买卖双方思索他们将面临的机会时,未来是静止不动的。这种思路直接导致了供求法则的产生。

  希腊式逻辑难成概率思维

  02 风险来自不确定性

  在西方,数字的故事开始于1202年斐波那契的《算盘书》。书中斐波那契运用印度-阿拉伯数字体系完成了所有的计算,包括所有的数字和分数、比例原则、平方根和更高次方根的抽取,甚至可以看到线性方程式和二次方程式的解决方法。阿拉伯数字体系是在十字军东征圣地时由阿拉伯数学家引进到西方的。

  18世纪是寻求理性的时代,这是对17世纪无休止宗教战争的反应。随着流血冲突逐渐平息下来,秩序和对古典文化形式的欣赏替代了反对变革的热情和巴洛克的情感特质。平衡的感觉以及对理性的推崇是启蒙的象征。就是在这种背景下,伯努利将《逻辑或思维的艺术》中的神秘主义思想转变为理性决策者能够利用的逻辑论据。

  在许多自然现象中,都不难发现无序在先,有序在后。如一群人的身高或他们中指的长度,都会按照钟形曲线呈现正态分布的形态。就像高斯指出的,要想让观察值正态分布或是对称分布在其均值的两侧,有两个条件是必须的:第一,要有尽可能多的观察值;第二,这些观察值彼此独立。

  966年屈居于六平方米小屋的陈景润,借一盏昏暗的煤油灯,伏在床板上,用一支笔,耗去了几麻袋的草稿纸,居然攻克了世界著名数学难题“哥德巴赫猜想”中的(1+2),创造了距摘取这颗数论皇冠上的明珠(1+1)只是一步之遥的辉煌。他证明了“每个大偶数都是一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”,使他在哥德巴赫猜想的研究上居世界领先地位。这一结果国际上誉为“陈氏定理”,受到广泛征引。这项工作还使他与王元、潘承洞在1978年共同获得中国自然科学奖一等奖。他研究哥德巴赫猜想和其他数论问题的成就,至今,仍然在世界上遥遥领先。世界级的数学大师、美国学者阿·威尔(AWeil)曾这样称赞他:“陈景润的每一项工作,都好像是在喜马拉雅山山巅上行走。高斯印象中曾听过一个故事:高斯是位小学二年级的学生,有一天他的数学老师因为事情已处理了一大半,虽然上课了,仍希望将其完成,因此打算出一题数学题目给学生练习,他的题目是:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=?,因为加法刚教不久,所以老师觉得出了这题,学生肯定是要算蛮久的,才有可能算出来,也就可以藉此利用这段时间来处理未完的事情,但是才一转眼的时间,高斯已停下了笔,闲闲地坐在那里,老师看到了很生气的训斥高斯,但是高斯却说他已经将答案算出来了,就是55,老师听了下了一跳,就问高斯如何算出来的,高斯答道,我只是发现1和10的和是11、2和9的和也是11、3和8的和也是11、4和7的和也是11、5和6的和还是11,又11+11+11+11+11=55,我就是这么算的。高斯长大后,成为一位很伟大的数学家。高斯小的时候能将难题变成简易,当然资质是很大的因素,但是他懂得观察,寻求规则,化难为简,却是值得我们学习与效法的。《自学成才的数学家》华罗庚小时候很有数学天份,但家庭遭变故,只得停学看店,靠自学成为了数学家……高斯印象中曾听过一个故事:高斯是位小学二年级的学生,有一天他的数学老师因为事情已处理了一大半,虽然上课了,仍希望将其完成,因此打算出一题数学题目给学生练习,他的题目是:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=?,因为加法刚教不久,所以老师觉得出了这题,学生肯定是要算蛮久的,才有可能算出来,也就可以藉此利用这段时间来处理未完的事情,但是才一转眼的时间,高斯已停下了笔,闲闲地坐在那里,老师看到了很生气的训斥高斯,但是高斯却说他已经将答案算出来了,就是55,老师听了下了一跳,就问高斯如何算出来的,高斯答道,我只是发现1和10的和是11、2和9的和也是11、3和8的和也是11、4和7的和也是11、5和6的和还是11,又11+11+11+11+11=55,我就是这么算的。高斯长大后,成为一位很伟大的数学家。高斯小的时候能将难题变成简易,当然资质是很大的因素,但是他懂得观察,寻求规则,化难为简,却是值得我们学习与效法的。华罗庚一生都是在国难中挣扎。他常说他的一生中曾遭遇三大劫难。自先是在他童年时,家贫,失学,患重病,腿残废。第二次劫难是抗日战争期间,孤立闭塞,资料图书缺乏。第三次劫难是“文化大革命”,家被查抄,手槁散失,禁止他去图书馆,将他的助手与学生分配到外地等。在这等恶劣的环境下,要坚持工作,做出成就,需付出何等努力,需怎样坚强的毅力是可想而知的.早在40年代,华罗庚已是世界数论界的领袖数学家之一。但他不满足,不停步,宁肯另起炉灶,离开数论,去研究他不熟悉的代数与复分析,这又需要何等的毅力寻勇气!华罗庚善于用几句形象化的语言将深刻的道理说出来。这些语言简意深,富于哲理,令人难忘。早在SO年代,他就提出“天才在于积累,聪明在于勤奋”。华罗庚虽然聪明过人,但从不提及自己的天分,而把比聪明重要得多的“勤奋”与“积累”作为成功的钥匙,反复教育年青人,要他们学数学做到“拳不离手,曲不离口”,经常锻炼自己。50年代中期,针对当时数学研究所有些青年,做出一些成果后,产生自满情绪,或在同一水平上不断写论文的倾问,华罗庚及时提出:“要有速度,还要有加速度。”所谓“速度”就是要出成果,所谓‘加速度”就是成果的质量要不断提高。“文化大革命”刚结束的,一些人,特别是青年人受到不良社会风气的影响,某些部门,急于求成,频繁地要求报成绩、评奖金等不符合科学规律的做法,导致了学风败坏。表现在粗制滥造,争名夺利,任意吹嘘。1978年他在中国数学会成都会议上语重心长地提出:“早发表,晚评价。”后来又进一步提出:“努力在我,评价在人。”这实际上提出了科学发展及评价科学工作的客观规律,即科学工作要经过历史检验才能逐步确定其真实价值,这是不依赖人的主观意志为转移的客观规律。”华罗庚从不隐讳自己的弱点,只要能求得学问,他宁肯暴露弱点。在他古稀之年去英国访问时,他把成语“不要班门弄斧”改成“弄斧必到班门”来鼓励自己。实际上,前一句话是要人隐讳缺点,不要暴露。华罗庚每到一个大学,是讲别人专长的东西,从而得到帮助呢,还是对别人不专长的,把讲学变成形式主义走过场?华罗庚选择前者,也就是“弄等必到班门”。早在50年代,华罗庚在《数论导引》的序言里就把搞数学比作下棋,号召大家找高手下,即与大数学家较量。中国象棋有个规则,那就是“观棋不语真君子,落子无悔大丈夫”。1981年,在淮南煤矿的一次演讲中,华罗康指出:“观棋不语非君子,互相帮助;落子有悔大丈夫,改正缺点。”意思是当你见到别人搞的东西有毛病时,一定要说,另一方面,当你发现自己搞的东西有毛病时,一定要修正。这才是“君子”与“丈夫”。针对一些人遇到困难就退缩,缺乏坚持到底的精神,华罗庚在给金坛中学写的条幅中写道:“人说不到黄河心不死,我说到了黄河心更坚。”人老了,精力要衰退,这是自然规律。华罗庚深知年龄是不饶人的。1979年在英国时,他指出:“村老易空,人老易松,科学之道,戒之以空,戒之以松,我愿一辈子从实以终。”这也可以说是他以最大的决心向自己的衰老作抗衡的“决心书”,以此鞭策他自己。在华罗索第二次心肌梗塞发病的,在医院中仍坚持工作,他指出:“我的哲学不是生命尽量延长,而是昼多做工作。”生病就该听医生的话,好好休息。但他这种顽强的精神还是可贵的。总之,华罗庚的一切论述都贯穿一个总的精神,就是不断拼搏,不断奋进。祖冲之(429-500)的祖父名叫祖昌,在宋朝做了一个管理朝廷建筑的长官。祖冲之长在这样的家庭里,从小就读了不少书,人家都称赞他是个博学的青年。他特别爱好研究数学,也喜欢研究天文历法,经常观测太阳和星球运行的情况,并且做了详细记录。宋孝武帝听到他的名气,派他到一个专门研究学术的官署“华林学省”工作。他对做官并没有兴趣,但是在那里,可以更加专心研究数学、天文了。我国历代都有研究天文的官,并且根据研究天文的结果来制定历法。到了宋朝的时候,历法已经有很大进步,但是祖冲之认为还不够精确。他根据他长期观察的结果,创制出一部新的历法,叫做“大明历”(“大明”是宋孝武帝的年号)。这种历法测定的每一回归年(也就是两年冬至点之间的时间)的天数,跟现代科学测定的相差只有五十秒;测定月亮环行一周的天数,跟现代科学测定的相差不到一秒,可见它的精确程度了。公元462年,祖冲之请求宋孝武帝颁布新历,孝武帝召集大臣商议。那时候,有一个皇帝宠幸的大臣戴法兴出来反对,认为祖冲之擅自改变古历,是离经叛道的行为。祖冲之当场用他研究的数据回驳了戴法兴。戴法兴依仗皇帝宠幸他,蛮横地说:“历法是古人制定的,后代的人不应该改动。”祖冲之一点也不害怕。他严肃地说:“你如果有事实根据,就只管拿出来辩论。不要拿空话吓唬人嘛。”宋孝武帝想帮助戴法兴,找了一些懂得历法的人跟祖冲之辩论,也一个个被祖冲之驳倒了。但是宋孝武帝还是不肯颁布新历。直到祖冲之死了十年之后,他创制的大明历才得到推行。尽管当时社会十分动乱不安,但是祖冲之还是孜孜不倦地研究科学。他更大的成就是在数学方面。他曾经对古代数学著作《九章算术》作了注释,又编写一本《缀术》。他的最杰出贡献是求得相当精确的圆周率。经过长期的艰苦研究,他计算出圆周率在3.1415926和3.1415927之间,成为世界上最早把圆周率数值推算到七位数字以上的科学家。祖冲之在科学发明上是个多面手,他造过一种指南车,随便车子怎样转弯,车上的铜人总是指着南方;他又造过“千里船”,在新亭江(在今南京市西南)上试航过,一天可以航行一百多里。他还利用水力转动石磨,舂米碾谷子,叫做“水碓磨”。祖冲之晚年的时候,掌握宋朝禁卫军的萧道成灭了宋朝。在我国北宋时代,有一位博学多才、成就显著的科学家,他就是沈括(1031~1095)。沈括,字存中,宋仁宗天圣九年(公元1031年)生于浙江钱塘(今浙江杭州市)一官僚家庭。他的父亲沈周(字望之)曾在泉州、开封、江宁做过地方官。母亲许氏,是一个有文化教养的妇女。沈括自幼勤奋好读,在母亲的指导下,十四岁就读完了家中的藏书。后来他跟随父亲到过福建泉州、江苏润州(今镇江)、四川简州(今简阳)和京城开封等地,有机会接触社会,对当时人民的生活和生产情况有所了解,增长了不少见闻,也显示出了超人的才智。沈括精通天文、数学、物理学、化学、生物学、地理学、农学和医学;他还是卓越的工程师、出色的军事家、外交家和政治家;同时,他博学善文,对方志律历、音乐、医药、卜算等无所不精。他晚年所著的《梦溪笔谈》详细记载了劳动人民在科学技术方面的卓越贡献和他自己的研究成果,反映了我国古代特别是北宋时期自然科学达到的辉煌成就。《梦溪笔谈》不仅是我国古代的学术宝库,而且在世界文化史上也有重要的地位。日本数学家三上义夫曾经说:沈括这样的人在全世界数学史上找不到,只有中国出了这么一个。英国著名科学史专家李约瑟博士称沈括的《梦溪笔谈》是中国科学史上的坐标。高斯是德国数学家、天文学家和物理学家,被誉为历史上伟大的数学家之一,和阿基米德、牛顿并列,同享盛名。高斯1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭,1855年2月23日卒于格丁根。幼时家境贫困,但聪敏异常,受一贵族资助才进学校受教育。1795~1798年在格丁根大学学习1798年转入黑尔姆施泰特大学,翌年因证明代数基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。高斯的成就遍及数学的各个领域,在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用,并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。瑞士数学家欧拉早年曾受过良好的神学教育,成为数学家后在俄国宫廷供职。有一次,俄国女皇邀请法国哲学家狄德罗访问她的宫廷。狄德罗试图通过使朝臣改信无神论来证明他是值得被邀请的。女皇厌倦了,她命令欧拉去让这位哲学家闭嘴。于是,狄德罗被告知,一个有学问的数学家用代数证明了上帝的存在,要是他想听的话,这位数学家将当着所有朝臣的面给出这个证明。狄德罗高兴地接受了挑战。第二天,在宫廷上,欧拉朝狄德罗走去,用一种非常肯定的声调一本正经地说:“先生,,因此上帝存在。请回答!”对狄德罗来说,这听起来好像有点道理,他困惑得不知说什么好。周围的人报以纵声大笑,使这个可怜的人觉得受了羞辱。他请求女皇答应他立即返回法国,女皇神态自若地答应了。就这样,一个伟大的数学家用欺骗的手段“战胜”了一个伟大的哲学家。拉普拉斯和拉格朗日是19世纪初法国的两位数学家。拉普拉斯在数学上十分伟大,在政治上却是一个十足的小人,每次政权更迭,他都能够见风使舵,毫无政治操守可言。拉普拉斯曾把他的巨著《天体力学》献给拿破仑。拿破仑想惹恼拉普拉斯,责备他犯了一个明显的疏忽:“你写了一本关于世界体系的书,却一次也没有提到宇宙的创造者——上帝。”拉普拉斯反驳说:“陛下,我不需要这样一个假设。”当拿破仑向拉格朗日复述这句话时,拉格朗日说:“啊,但那是一个很好的假设,它说明了许多问题。”两个神童19世纪初,在大西洋两岸出现了两个神童:一个是英国少年哈密顿,另一个是美国孩子科尔伯恩哈密顿的天才表现在语言学上,他8岁时就已经掌握了英文、拉丁文、希腊文和希伯莱文;12岁时已熟练地掌握了波斯语、阿拉伯语、马来语和孟加拉语,只是由于没有教科书,他才没有学习汉语。科尔伯恩则在数学上表现出神奇的天才,小时候,有人问他4294967297是否是素数时,他立刻回答不是,因为它有641作为除数。类似的例子多得不胜枚举,但他不能解释他得出正确结论的过程。人们把两个神童带到一起,这次会面是奇妙的,现在已经无法确知他们交谈了什么,但结果却是完全出人意料的:科尔伯恩的数学天赋完全“移植”给了哈密顿;哈密顿放弃了语言学,投身数学,成为爱尔兰历史上最伟大的数学家。至于科尔伯恩,他的天才渐渐消失了。数学家之死挪威数学家阿贝尔22岁的时候就对数学的发展做出了重大的贡献,但并不为当时的数学界所接受。他过着穷困潦倒的生活,这严重地影响了他的健康,他得了肺结核,这在当时是绝症。在最后的几个星期,他一直在考虑他的未婚姐的未来。他写信给他最好的朋友基尔豪:“她并不美丽,有着一头红发和雀斑,但她是一个可爱的女子。”虽然基尔豪和肯普从未见过面,但阿贝尔希望他们两个能够结婚。肯普小姐照料阿贝尔度过了生命的最后时刻。在葬礼上,她与专程赶来的基尔豪相遇了。基尔豪帮助她克服了悲伤,他们相爱并结了婚。正如阿贝尔所希望的那样,基尔豪和肯普婚后十分幸福,他们经常到阿贝尔墓前去怀念他。随着岁月的流逝,他们发现越来越多的人从各地赶来,为阿贝尔在数学上的贡献向他表达他们迟到的敬意,而他们只是这一朝圣队伍中的一对普通的朝圣者。1832年5月29日,法国年轻气盛的伽罗瓦为了所谓的“爱情与荣誉”打算和另外一个人决斗。他知道对手的枪法很好,自己获胜的希望很小,很可能会死去。他问自己,如何度过这最后的夜晚?在这之前,他曾写过两篇数学论文,但都被权威轻蔑地拒绝了:一次是被伟大的数学家柯西;另一次是被神圣的法兰西科学院他头脑中的东西是有价值的。整个晚上,他把飞逝的时间用来焦躁地一气写出他在科学上的遗言。在死亡之前尽快地写,把他丰富的思想中那些伟大的东西尽量写出来。他不时中断,在纸边空白处写上“我没有时间,我没有时间”,然后又接着写下一个极其潦草的大纲。他在天亮之前那最后几个小时写出的东西,一劳永逸地为一个折磨了数学家们几个世纪的问题找到了真正的答案,并且开创了数学的一个极为重要的分支——群论。第二天上午,在决斗场上,他被打穿了肠子。死之前,他对在他身边哭泣的弟弟说:“不要哭,我需要足够的勇气在20岁的时候死去。”他被埋葬在公墓的普通壕沟内,所以今天他的坟墓已无踪迹可寻。他不朽的纪念碑是他的著作,由两篇被拒绝的论文和他在死前那个不眠之夜写下的潦草手稿组成。数学家的问题费马是17世纪法国图卢兹议会的议员,一个诚实而勤奋的人,同时也是历史上最杰出的数学业余爱好者。在其一生中,他给后代留下了大量极其美妙的定理;同时,由于一时的疏忽,也向后世的数学家们提出了严峻的挑战。费马有一个习惯,他在读书的时候喜欢把思考的结果简略。有一次,他在阅读时写下了这样的话:“……将一个高于2次的幂分为两个同次的幂,这是不可能的。关于此,我确信已发现一种美妙的证法,可惜这里空白的地方太小,写不下。”这个定理现在被命名为“费马大定理”,即:不可能有满足xn+yn=zn这就是费马对后世的挑战。为了寻找这个定理的证明,后世无数的数学家发起了一次又一次的冲锋,但都败下阵来。1908年,一位德国富翁曾经悬赏10万马克的巨款,奖励第一个对“费马大定理”完全证明的人。自此定理提出后,数学家们奋斗了300多年,还是没有证出来。但这个定理肯定存在,费马知道它。在数学上,“费马大定理”已成为一座比珠穆朗玛峰更高的山峰,人类的数学智慧只有一次达到过这样的高度,从那以后,再也没有达到过。

  贝叶斯使用了一个奇特的设计来证明他的观点—一个台球台。第一个球可以在台中滚动,并可以自由地停在台中的任何地方,然后就呆在原地。接下来,第二个球以相同的方式在台中滚动,然后记下它停在第一个球右侧的次数,这个次数是“未知事件发生的次数”,而第二个球停在第一个球左边的次数就是失败的次数,即该事件没有发生的次数,这样的单独实验中,第一个球所停位置的概率可以从第二个球“成功”或“失败”的次数中推算出来。

  由于不可能去测量地球的每一寸土地,多数地线测量是由根据所研究地区的样本距离所做出的估计值构成的。当高斯分析这些估计值的分布时,他发现它们具有很强的多样性,但是随着估计值数目的增加,它们又好像群集在中心点的周围。这个中心点是所有观察值的均值,而观察值在均值的两侧呈对称分布。高斯所选用的观察值越多,这个图像就越清晰,并且越来越像棣莫弗83年前所得到的钟形曲线。同样,钟形曲线在这里的主要的目的不是为了显示准确性,而是为了显示偏差。

  度量和实质之间的平衡是整个风险故事的焦点。第一步是设计度量技术,它能用来决定在不确定的未来中多大程度地隐藏着有序的成分。帕斯卡和费马解决了概率的度量,葛兰特的抽样调查和哈雷的人口研究,伯努利引入了预期效用,贝叶斯得出历史数据基础上的事后概率,以及高斯的概率的分布和高尔顿的均值回归等等进一步解决了人们如何认识概率,如何应对概率,这最终是有关风险管理及决策制定的重大问题。

  1654年帕斯卡和费马在这个科目上的合作标志着数学和概率史上划时代事件的到来。费马和帕斯卡有关分配筹码的解决办法,长期以来被用来支付社会福利,它也是现代保险和其他形式的风险管理的基石。他们从不同的角度研究这个问题。费马从纯数学的角度(二项式定理)来进行研究,帕斯卡则更加创新些,他用几何模型来表述基础的代数结构,帕斯卡三角形,从1开始每个数字是上一行其两肩的数字之和。1662年帕斯卡出版了一本重要的著作《逻辑或思维的艺术》,他提出人们对暴雷的不正常恐惧,“对于受伤的恐惧不仅与受伤害的程度成比例关系,而且还与受到伤害的可能性有关”,程度和可能性都会影响决策。

  进入19世纪,启蒙运动将探求知识作为人类活动的最高形式。这个时期没有了任何限制探求知识和创造新事物的禁锢,科学家们拨开眼前形而上学的迷雾,在控制风险研究上取得了巨大进步。

  1738年,《圣彼得堡皇家科学学院论文集》中收录了一篇名为《有关衡量风险的新理论说明》的文章,其中心主题是:一件物品的价值(value)并不仅取决于它的价格(price),还取决于它所产生的效用(utility)。与之前的《逻辑或思维的艺术》一书一样,都是建立在相同的命题之上,即任何与风险有关的决策都涉及两个截然不同但又不能分开的元素:客观事实和主观意见,而这个主观意见是关于通过决策来达到所得或所失东西的愿望。客观的衡量与主观的信心度都很重要,但是这两者本身都是不充分的,度量和本质间存在复杂的关系。论文的作者是丹尼尔˙伯努利。

  高斯这项对概率论最有价值的贡献来自于另一个与概率完全无关领域的研究成果—地线测量,即利用地球的曲线率来提高地理测量的精确度。地球是圆的,所以地表上两点间的距离和直线上两点间的距离是不同的。这种差异在几英里之内是无关紧要的,但如果差异在10英里以上就不能轻易忽视了。

  文艺复兴时期的赌徒卡达诺,之后的几何学家帕斯卡和律师费马,丹尼尔·伯努利和他的叔叔雅各布,少言寡语的高斯,幽默的冯诺依曼和沉闷的摩根斯坦,虔诚的教徒棣莫弗和不可知论者奈特,言简意赅的布莱克和喋喋不休的斯科尔斯,阿罗和马科维茨——他们帮助人们转变了对风险的理解,从损失的可能转变为盈利的机会,从命运和上天设计转变为对未来以概率为根据的预测,从无助转变为选择。如何认识风险、衡量风险以及权衡其带来的后果,让未来服务于当下。

  伯努利认为价格和概率并不足以决定什么事是值得的。虽然事实对每个人来说都是一样的,但“效用…取决于做预测的人所处的特定环境…没有理由去假设…每个个人所预计的风险在价值上是等同的。”预期价值等于许多结果中每个结果的价值和这种结果可能性概率乘积的总和,一般用数学期望来表示预期价值,而效用的概念是直觉的体验。理性决策者是将预期效用最大化,而不是预期价值最大化,虽然预期效用的计算方法与计算预期价值的方法相同,只是效用被用来做权重因子。

  风险管理和不确定性是金融行业的核心。我们曾细致地研究过索罗斯反身理论,索罗斯本人也认为金融市场上未必可以有效地实施,正如他指出的人的认知不完美一样,存在相当多的缺陷,这也是理论家一贯的悲叹。但是这个角度给我们提供了一个认识风险,制定决策的框架。认知的缺陷,不仅存在于对大自然客观规律的认识。随着人类文明的进步,更多的不确定性来自于人的活动。管理风险的能力及风险承担与前瞻性选择的偏好,是驱动经济系统前进力量的关键因素。

  葛兰特的研究之后30年哈雷出版了对西里西亚的布雷斯劳城的人口研究,并制定了生命表格。哈雷的整个分析体现了概率的概念,他的工作后来促成了在欧洲大陆上进行关于预期寿命计算的重要工作。

  人类总是容易沉溺于赌博,因为我们在赌博中直接面对命运,没有任何的障碍。亚当˙斯密把这种动机定义为“绝大多数人对自己的能力和对自己会交好运的过分自负”。尽管斯密敏锐地意识到人类喜欢承受风险的倾向有利于促进经济的发展,但他仍然担心,当这种倾向失去控制时,会对社会造成不利的影响。所以他将人的道德情感与自由市场的益处仔细地进行权衡。

  虽然真正英雄不是卡达诺,而是他所处的时代。能够得出卡达诺所研究成果的机会已经存在了几千年。但所缺乏的是自由的思想、动手实验的热情以及控制未来的欲望,而这些在文艺复兴时期全部被释放出来。

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  所以,人们害怕雷暴并非如帕斯卡所认为的因为他们过高估计了被雷电击中这种小概率的事件,而他们对所害怕的事情的结果加大了权重,虽然他们知道被击中的几率微乎其微。从这个意义上说,本质决定了度量。人类对风险的偏好各不相同是件好事。如果所有人都以相同的方式评估风险,许多带有风险性的机会就会被我们错过了。富于冒险精神的人在小概率高收益事件上设置的效用较高,而在大概率的损失事件上设置的效用较低。而其他人在收益上设置的效用就很低,因为他们的最大目的是保存他们的资产。

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  伯努利的基本论点是人们对风险有不同的价值评定。此外,他假设财富上的少许增长带来的效用同以前拥有的财富数量成反比。或者说在理性世界中,人们都渴望富有害怕贫穷,但是想更富有的愿望是由已富有的程度决定的。这是一种系统方法,可以确定每个人欲望之间的高低差额,欲望和拥有财产的数量成反比。通过引进“风险承担者”,伯努利定义了进行选择的人们的动机。伯努利用效用解释了彼得堡自相矛盾问题,即任何理性的人都会以一定的价格出售看似无限大的期望价值。效用观点成为供求法则的基础。供求法则是维多利亚时代经济学家们的一项杰出革新,它标志着一个起始点,从这里人们开始理解市场是如何运行的,买卖双方是如何达成价格协议的。

  2、抽样调查和人口研究

  从概率度量到统计分析

  17、18世纪时,特别是在法国,数学革新得到了真正的爆发,这远远超越了卡达诺的凭经验掷骰子的实验。在计算和代数学方面的进步致使大量抽象概念产生,而这为概率的许多实际应用奠定了基础。法国人在概率分析方面有了长足的进步,主要人物是帕斯卡和费马。

  亚伯拉罕•棣莫弗利用微积分和帕斯卡三角形的内部结构—后被称为二项式定理,显示了一组随机抽取的样本是如何分布在它们的平均值周围的。棣莫弗所研究的分布,现在被称为标准曲线,或者因为它的曲线的形态像个钟,所以又被称为钟形曲线。当被描绘为一条曲线时,这个分布显示了大量的观察结果集聚在中心周围,接近观察总数的平均值。然后,这条曲线的两边对称地向下倾斜,每边有相同数量的观察数量;开始时曲线下斜的角度比较陡峭,到末端时趋于平缓。换句话说,离均值远的观察值出现的频率比离均值近的观察值出现的频率要高。

  贝叶斯推断体系的主要应用是:使用新的信息来校正基于旧信息所得出的概率,或者用统计术语来说,是先验概率和后验概率的比较。在台球的例子中,第一个球代表先验概率,第二个球反复滚动,并持续校正其位置的估计,这代表后验概率。

  3、丹尼尔˙伯努利的预期效用

  01 风险来自不确定性

  4、历史数据基础上的事后概率

  在解释万物的起源时,希腊神话中以一个巨大的赌局来解释现在科学家们都称之为“宇宙大爆炸”的东西:三个兄弟为分配宇宙而掷骰子,主神宙斯赢得了天堂,海神波塞冬赢得了海洋,而输家冥王哈迪斯则成为地狱总管。

  接下来,丹尼尔˙伯努利第一次定义了大部分人做出选择,得出决策的系统过程。更重要的是他提出的观点:从任何财富的微量增加中得到的满足感总与之前所拥有的财富数量成反比。可以解释为什么人们倾向于风险厌恶,为什么劝说顾客购买更多的商品时,价格一定要下降。伯努利的理论在以后的250年里被奉为描述理性行为的卓越典范,同时也奠定了现代投资管理原理的基础。

  如前面所说的一对从未解决的矛盾,概率总是有两层含义,一种代表未来,另一种阐述过去;一个有关我们的看法,另一个有关我们知道的事实。概率的第一层含义是指对信念的认知程度,或是我们对被告知的事物能够认知多少。即所谓“认识论”的含义,人类的知识是有限的,不能分析所有的事物。

  《算盘书》中提出最著名的斐波那契数列,1、2、3、5、8、13、21、34、55、89...,即每个连续的数字是前两个数字之和。将任何一个斐波那契数列中的数除以它后面的数,数字3后的结果总是0.625,数字89后的结果总是0.618;数字越大,小数位越多。用数字2之后的任何数除以它前的数,其结果总是1.6,在144之后,其结果总是1.618,即“黄金分割”比例。用斐波那契数例画出的螺旋其形态独立于成长,虽然螺旋越来越大,但是结构一直何持原形态,没有任何改变。斐波那契数列在交易中有着广泛的运用。《算盘书》还提出了复式记账方法的想法,在1494年出版的帕奇奥利的《数学全书》中得到更加详细地阐述。

  04 风险来自不确定性

  1、帕斯卡和费马:概率的度量

  希腊人对做实验并不感兴趣,他们只关注理论和证明。他们显然没考虑过通过复制某种现象足可以证实某种假设,这大概是因为他们认为日常事务是按部就班的。到了文艺复兴时期,希腊哲学被彻底颠覆了,从科学家到探险家,从画家到建筑师,人人都热衷于调查、实验和论证。经常玩骰子的人也对其出现的规律性产生了好奇。

  但是如果人们对自己的好运气都缺乏信心,整个世界将变得毫无生气。凯恩斯不得不承认“如果人的本性对于碰运气毫无兴趣,仅仅依靠冷静地计算的话,就没有人会进行过多的投资活动”。如果预期的结果是失败,没有人会去承受风险。当计划经济试图通过政府命令和计划策略将不确定性完全消除时,同时也就抑制了社会和经济的发展。

  风险这个词来自于古意大利语risicare,意为害怕。从这个意义上讲,与其说风险是一种命运,不如说是一种选择。“害怕”采取行动——它依赖于我们做选择时有多大的自由度和所掌握信息的多少。风险管理的本质是就是把我们对结果有所控制的领域最大化,而把我们完全不能控制结果和我们弄不清因果联系的领域最小化。事实上,随着文明的发展,大自然的反复无常已经不那么重要,反而是人类的决定更加至关重要。

  出于对风险和不确定性问题的兴趣,我们从彼得˙伯恩斯坦的《与天为敌》开始梳理。从掷骰子开始的概率论到股权定价的BS公式,在探索风险管理的过程中,人类的知识连接性十分的惊人,数学和经济学学科发展的协同性也同样的惊人,这可能也是近现代史上经济学家的优越感的源泉。

  如果人们得不到非人类的神明和随机事件的怜悯,面对一个未知的未来,他们再也不能保持被动,而只能在更大的范围内,用比以前更长的时间来做出决策。随着这种选择和决策的不断开放,人们逐渐意识到未来不仅提供危险,同样也提供机遇,人们开始意识到它是开放的,充满了机会。时间是赌博中的决定性因素。风险和时间是同一事物两个方面,因为如果没有明天,就不会有风险。时间会改变风险,风险的本质是由时间的范围来塑造的。

  大自然的反复无常已经不那么重要,反而是人类的决定更加至关重要。博弈论认为不确定性的真正起源来自于他人的意图中。1950、60年代,对于理性的深入研究又重新开展起来。人们对于理性的研究、对于度量的研究以及在预测中对于数学应用的研究产生了极大热情。纽曼和摩根斯坦已经量化了效用,马科维茨则开始量化投资风险。衍生交易的产品是不确定性本身,只有在波动的环境中才有价值。随着文明的发展,大自然的反复无常已经不那么重要,反而是人类的决定更加至关重要。

  在伯努利、棣莫弗和贝叶斯的基础上,高斯将对抽样调查的研究又向前推进了一步。虽然他缺乏对风险管理的兴趣,但是他在该领域所取得的成就却成为现代风险控制管理理论的核心。

  不确定性是奈特和凯恩斯洞悉人类本性中的不理性的结果。将社会科学进行与自然科学同等程度量化的运动趋势愈发强大,生活中越来越多的方面被量化了,自然科学中的词汇逐渐被应用到了经济领域中。而奈特的不可知论认为,预测过程的困难不仅仅是无法将数学的命题应用到预测未来中去。凯恩斯提出了与放任主义政策截然不同的行动方针:政府所扮演的角色更加积极,不仅仅是用政府的需求来替代日益减少的个人需求,而是要广泛减少经济的不确定性。

  没有数字,就不会有几率,也不会有概率。没有几率和概率,风险管理就无从谈起了。大约在公元前450年,希腊人发明了一种字母数字体系。这个体系由希腊字母表中的24个字母组成。从1~9的每个数字都有相应的字母,每个10的倍数有一个字母。但是当用这些字母进行加、减、乘、除运算时,会遇到极大的困难。计算主要通过算盘等方法进行,这些数字的替代物仅仅能作为记录计算结果的工具,同样的问题也困扰了后来的罗马人。

  卡达诺是文艺复兴时期的典型人物,也是赌徒中的赌徒。其关于赌博的论文名叫《机会赌博之书》(1545年左右),通过掷骰子实验方式开始,最终以理论概念的结合收尾,是人们第一次认真努力地去研究概率的统计原理。

  尽管希腊人强调理论的重要性,但是他们对将理论应用于技术,从而改变和管理未来却毫无兴趣。希腊人相信星空中的科学,因为各种星体极其有规律地在它们确定的位置出现。风暴造成的巨大破坏是引起当时人们注意风险管理的唯一原因:诗人和歌剧家们反复地歌颂人们对风的依赖。只有当人们认为自己已经达到某种程度的解放时,风险管理的观念才会出现。当人们对于未来的思索成为一种常态化的行为和信念时,未来才似乎不再像以前那么不可预知了。

  概率起源于文艺复兴的赌桌

  帕斯卡在讨论假设的球类游戏时,长期记录的成绩以及选手们的身体能力和智商水平不是必不可少的,甚至连比赛本身的性质也是无关紧要的-理论完全替代了现实信息。通过数学家提供的强有力的工具,我们可以在有限的历史数据的基础上计算出未来结果的概率。

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